Generalized Almost Perfect Nonlinear関数とFermat曲線についての研究討論

整理番号	2024a017
種別	一般研究-短期共同研究
研究計画題目	Generalized Almost Perfect Nonlinear関数とFermat曲線についての研究討論
研究代表者	黒田 匡迪（日本文理大学工学部・准教授）
研究実施期間	2024年9月20日(金) ～ 2024年9月24日(火)
研究分野のキーワード	APN関数，GAPN関数，幾何学的既約，Fermat曲線
目的と期待される成果	有限体上の非線形性が高い関数としてAlmost Perfect Nonlinear（APN）関数が研究されており，標数2の場合に暗号理論や符号理論へ応用されている．例えば，暗号理論では，差分解読法や線形解読法などの攻撃方法に対して高い耐性を有するブロック暗号アルゴリズムを構築する上で重要な部品の1つであり，符号理論では，例外的APN関数の完全分類を与えることで例外的数の系列を決定した．一方で，奇標数の場合には，基礎研究が十分ではなく，これらの分野へ応用されていない．このことは，標数2の場合のある代数的性質が，奇標数の場合の既存の定義では成立しないことに起因していると考える．この標数2の場合の代数的性質を保つ奇標数への一般化であるGeneralized APN（GAPN）関数が提案者らによって定義された．標数2のAPN関数でないものも奇標数のGAPN関数になり得る．特に，応用上このような生成関数が多く得られることは利点であり，産業への応用も期待できる．GAPN関数は，近年，国内外で研究されており，2023年にはCryptography and Communicationsに掲載された学術論文もある．提案者は，暗号理論・符号理論への応用を見込んだGAPN関数の研究を行ってきた．本研究では，例外的GAPN関数の分類に関する研究の深化を目的とする．上記の通り，標数2の例外的APN関数は暗号理論・符号理論へと応用されているため，本研究で得られた結果を基に，これらの応用を一般化する形でGAPN関数の暗号理論・符号理論への応用に期待できる．加えて，本研究の中でFermat曲線が重要な役割を果たすため，本研究は数学分野における学際的研究であり，様々な分野（数論，数論幾何，代数幾何，組み合わせ論，計算機数学等）が関係し得る推進すべき研究である．
組織委員(研究集会) 参加者(短期共同利用)	三井 健太郎（琉球大学・准教授） 星 明考（新潟大学・教授）