多目的最適化問題の解集合のモデリングのトポロジカルな構造に関する写像を用いた研究
| 整理番号 | 2025a028 |
|---|---|
| 種別 | プロジェクト研究-短期研究員 |
| 研究計画題目 | 多目的最適化問題の解集合のモデリングのトポロジカルな構造に関する写像を用いた研究 |
| 研究代表者 | 山本 卓宏（東京学芸大学・自然科学系・教授） |
| 研究実施期間 |
2025年10月6日(月) ～
2025年10月10日(金) 2026年2月16日(月) ～ 2026年2月20日(金) |
| 研究分野のキーワード | 連続写像，単体写像，ファイバー特異点，特異ファイバー |
| 本研究で得られた成果の概要 |
本研究において，まず，閉曲面 Mから平面へのPL写像に正則点及び特異点を定義した．さらに，曲面間の可微分写像の特異点の振る舞いに基づいて，Mから平面へのPL写像にジェネリックという概念を導入し，任意の PL写像はジェネリックなPL写像で近似できることを示した．ここまでの内容について，RIMS共同研究「可微分写像の特異点論とその応用」にて講演し，内容をまとめたものを講究録に投稿した．この結果をさらに発展させた内容の論文を学術雑誌に投稿予定である．さらに，一般の多面体 Mから \R^mへのPL写像 (n \geq m) に対して定置折り目辺単体を定義した． 次に，強凸写像 f\colon \R^n \to \R^m (n\geq m)に関する最適化問題について，解空間 X^\ast(f)がいつ (m-1)次元単体と同相になるのかという問題を研究した．一般に，強凸な fに対して (m -1)次元単体から解空間への全射な連続写像 x^\astが存在するがこれが単射とは限らない．そこで，x^\astの１点の逆像による(m -1)次元単体の分割を考えるとき，各逆像を１点に潰して得られる商空間は解空間に同相となる．この分割がある位相的な条件を満たせば商写像が同相写像となることが分かった．分割に対する位相的な条件の最適化問題における意味を考察することは今後の課題である． 次に，PL写像に関する最適化問題について研究を行った．最適化問題の先行研究では写像が強凸であるという仮定が重要となる．今回の研究では，強凸を約束しないときに解空間のトポロジーに関して何がわかるのかということを PL写像を用いることで研究した．PL写像 \varphi_i \colon \R^n \to \R^m (n \geq m)の各成分が最小点をただ１つ持つと約束する．ここで，PL写像を考える場合，最適解が定置折り目辺単体に属するという性質により，最適解の位置が絞り込めることに注意する．このとき，先のようなPL写像に関する最適化問題においては \Delta^{m -1}の頂点の周りから最適解集合の対応する頂点の周りへの全射な連続写像が存在することが分かった．この研究をさらに発展させて論文を執筆する予定である． |
| 組織委員(研究集会) 参加者(短期共同利用) |
山本 卓宏（東京学芸大学・教授） |